拉格朗日中值定理(高数拉格朗日函数公式)
拉格朗日中值定理是什么
[拉格朗日(Lagrange)中值定理]若函数f(x)满足条件：
（1）在闭区间[a,b]上连续；
（2）在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得
显然，罗尔定理是拉格朗日中值定理当f(a)=f(b)时的特殊情形，拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广。
扩展资料
推论1：如果函数f(x)在区间(a,b)内任意一点的导数f'(x)都等于零，那么函数f(x)在(a,b)内是一个常数。
证：设x1,x2是区间(a,b)内的任意两点，且x1＜x2，则函数f(x)在区间[x1,x2]上满足拉格朗日终值定理的条件，所以在(x1,x2)内至少存在一点ξ，使得f(x2)-f(x1)=f'(ξ)(x2-x1).
由假设知f'(ξ)=0，所以f(x1)=f(x2).
由于x1,x2是(a,b)内的任意两点，所以函数f(x)在(a,b)内的函数值总是相等的，即函数f(x)在(a,b)内是一个常数。
由此可知，函数f(x)在(a,b)内是一个常数的充分必要条件是在(a,b)内f'(x)=0.
推论2：如果函数f(x)与g(x)在区间(a,b)内每一点的导数f'(x)与g'(x)都相等，则这两个函数在区间(a,b)内至多相差一个常数，即f(x)=g(x)+C,x∈(a,b).这里C是一个确定的常数。
参考资料来源：百度百科-拉格朗日中值定理
柯西中值定理和拉格朗日有什么区别
一、地位不同：
1、柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，
2、拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形式（一阶展开）。
二、几何意义不同：
1、柯西中值定理几何意义为，用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦。该定理可以视作在参数方程下拉格朗日中值定理的表达形式。
2、拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。
扩展资料：在柯西中值定理中，若取g(x)=x时，则其结论形式和拉格朗日中值定理的结论形式相同。
因此，拉格朗日中值定理为柯西中值定理的一个特例；反之，柯西中值定理可看作是拉格朗日中值定理的推广。
参考资料来源：百度百科—柯西中值定理
拉格朗日中值定理公式是什么
拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形式（一阶展开）。
拉格朗日中值定理如果函数f(x)在（a，b）上du可导，[a,b]上连续，则必有一ξ∈[a,b]使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)
f(x)为y，所以该公zhuan式可写成△y=f'(x+θ△x)*△x(0<θ<1)
上式给出了自变量取得的有限增量△x时，函数增量△y的准确表达式。
扩展资料：
解析：该定理给出了导函数连续的一个充分条件。（注意：必要性不成立，即函数在某点可导，不能推出导函数在该点连续，因为该点还可能是导函数的振荡间断点。）函数在某一点的极限不一定等于该点处的函数值；但如果这个函数是某个函数的导函数，则只要这个函数在某点有极限，那么这个极限就等于函数在该点的取值。
参考资料来源：百度百科-拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理证明是什么
拉格朗日中值定理证明如下：
如果函数f(x)在（a，b）上可导，[a,b]上连续，则必有一ξ∈[a,b]使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)示意图令f(x)为y，所以该公式可写成△y=f'(x+θ△x)*△x(0<θ<1)上式给出了自变量取得的有限增量△x时，函数增量△y的准确表达式，因此本定理也叫有限增量定理。
定理内容：
若函数f(x)在区间[a,b]满足以下条件:
(1)在[a,b]连续。
(2)在(a,b)可导。
则在(a,b)中至少存在一点c使f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)。
证明:
把定理里面的c换成x再不定积分得原函数f(x)={[f(b)-f(a)]/(b-a)}x。
做辅助函数G(x)=f(x)-f(a)-{[f(b)-f(a)]/(b-a)}(x-a)。
易证明此函数在该区间满足条件：
1.g(a)=g(b)=0。
2.g(x)在[a,b]连续。
3.g(x)在(a,b)可导。
此即罗尔定理条件,由罗尔定理条件即证。
